Soal Logaritma dan Eksponen Pembahasan UN Matematika XII SMA/SMK/MA TA 2015/2016

Soal Logaritma dan Eksponen Pembahasan UN Matematika XII SMA/SMK/MA TA 2015/2016

Bentuk sederhana dari (1 + 3 $\sqrt{2}$ ) – (4 – $\sqrt{50}$ ) adalah …

A. -2 $\sqrt{2}$ – 3

B. -2 $\sqrt{2}$

C. 8 $\sqrt{2}$ – 3

D. 8 $\sqrt{2}$ + 3

E. 8 $\sqrt{2}$ + 5

PEMBAHASAN :

(1 + 3 $\sqrt{2}$ ) – (4 – $\sqrt{50}$ ) = (1 + 3 $\sqrt{2}$ ) – (4 – $\sqrt{2.25}$ )

             = (1 + 3 $\sqrt{2}$ ) – (4 – $5\sqrt{2}$ )

         = 1 + 3 $\sqrt{2}$ – 4 + $5\sqrt{2}$

         = -3 + 8 $\sqrt{2}$ = 8 $\sqrt{2}$ – 3

JAWABAN : C
Jika 2log 3 = a dan 3log 5 = b, maka 15log 20 = …

A. $\frac{2}{a}$

B. $\frac{2+ab}{a(1+b)}$

C. $\frac{a}{2}$

D. $\frac{b+1}{2ab+1}$

E. $\frac{a(1+b)}{2+ab}$

PEMBAHASAN :

15log 20 = $\frac{log 20}{log 15}$

      = $\frac{log (2^2.5)}{log (3.5)}$

    = $\frac{log 2^2 + log 5}{log 3 + log 5)}$

    = $\frac{^3log 2^2 + ^3log 5}{^3log 3 + ^3log 5)}$

    = $\frac{2.^3log 2 + ^3log 5}{^3log 3 + ^3log 5)}$

        = $\frac{2.(1/a) + b}{1 + b}$

      = $\frac{\frac{2 + ab}{a}}{1 + b}$

    = $\frac{2 + ab}{a(1 + b)}$

JAWABAN : B
Nilai dari rlog $\frac{1}{p^5}$ . qlog $\frac{1}{r^3}$ . plog $\frac{1}{p}$ = …

A. -15

B. -5

C. -3

D. 1/15

E. 5

PEMBAHASAN :

rlog $\frac{1}{p^5}$ . qlog $\frac{1}{r^3}$ . plog $\frac{1}{p}$ = rlog p-5. plog q-1. qlog r-3

= (-5)rlog p . (-1)plog q .(-3) qlog r

= (-5)(-1)(-3) = -15

JAWABAN : A
Akar – akar persamaan 32x+1 – 28.3x + 9 = 0 adalah x1 dan x2. Jika x1 > x2, maka nilai 3x1 – x2 = …

A. -5

B. -1

C. 4

D. 5

E. 7

PEMBAHASAN :

32x+1 – 28.3x + 9 = 0

3.32x – 28.3x + 9 = 0

misal : y = 3x

3y – 28y + 9 = 0

(3y-1)(y-9) = 0

y = 1/3 atau y = 9

1/3 = 3x     atau     9 = 3x

3-1 = 3x              32 = 3x

-1 = x2               2 = x1

3x1 – x2 = 3(2) – (-1)

        = 7

JAWABAN : E
Akar – akar persamaan 2.34x – 20.32x + 18 = 0 adalah x1 dan x2. Nilai x1 + x2 = …

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

E. 4

PEMBAHASAN :

2.34x – 20.32x + 18 = 0

Misal : 32x = y

2y2 – 20y + 18 = 0

2(y2 – 10y + 9) = 0

(y – 9)(y – 1) = 0

y = 9 atau y = 1

9 = 32x atau 1 = 32x

32 = 32x     30 = 32x

1 = x1      0 = x2

x1 + x2 = 1 + 0

       = 1

JAWABAN : B
Nilai x yang memenuhi persamaan 2log.2log (2x+1 + 3) = 1 + 2log x adalah …

A. 2log 3

B. 3log 2

C. -1 atau 3

D. 8 atau ½

E. log $\frac{2}{3}$

PEMBAHASAN :

2log.2log (2x+1 + 3) = 1 + 2log x

2log.2log (2x+1 + 3) = 2log 2 + 2log x

2log.2log (2x+1 + 3) = 2log 2x

2log (2x+1 + 3) = 2x

2x+1 + 3 = 22x

22x – 2x+1 – 3 = 0

22x – 2.2x – 3 = 0

misal : y = 2x

y2 – 2y – 3 = 0

(y – 3)(y + 1) = 0

y = 3 atau y = -1

3 = 2x

log 3 = log 2x

log 3 = x log 2

2log 3 = x

Untuk “-1 = 2x ” tidak ada solusi karena tidak ada bilangan positif yang dipangkatkan akan menghasilkan bilangan negatif

JAWABAN : A
Penyelesaian pertidaksamaan log (x – 4) + log (x + 8) < log (2x + 16) adalah …

A. x > 6

B. x > 8

C. 4 < x < 6

D. -8 < x < 8

E. 6 < x < 8

PEMBAHASAN :

log (x – 4) + log (x + 8) < log (2x + 16)

log [(x – 4)(x + 8)] < log (2x + 16)

log (x2 + 4x – 32) < log (2x + 16)

x2 + 4x – 32 < 2x + 16

x2 + 2x – 48 < 0

(x + 8)(x – 6) = 0

x = -8 atau x = 6

dengan menggunakan garis bilangan maka akan diperoleh : -8 < x < 6

syrat-syarat :

1. untuk “log (x – 4)” (x – 4) > 0, maka x > 4

2. untuk “log (x + 8)” (x + 8) > 0, maka x > -8

3. untuk “log (2x + 16)” (2x + 16) > 0, maka x > -8

Dari ketiga syarat tersebut dan -8 < x < 6, dengan menggunakan garis bilangan, maka yang memenuhi untuk ke semuanya adalah : 4 < x < 6

JAWABAN : C
Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan : 2 log x $\leq$ log (2x + 5) + 2 log 2 adalah …

A. -5/2 < x $\leq$ 8

B. -2 $\leq$ x $\leq$ 10

C. 0 < x $\leq$ 10

D. -2 < x < 0

E. -5/2 $\leq$ x < 0

PEMBAHASAN :

2 log x $\leq$ log (2x + 5) + 2 log 2

log x2 $\leq$ log (2x + 5) + log 22

log x2 $\leq$ log [(2x + 5)22]

x2 $\leq$ 8x + 20

x2 – 8x – 20 $\leq$ 0

(x – 10)(x + 2) = 0

x = 10 atau x = -2

dengan menggunakan garis bilangan, maka diperoleh x yang memenuhi adalah : -2 $\leq$ x $\leq$ 10

syarat :

1. untuk “log x2“, x2 > 0 maka x > 0

2. untuk “log (2x + 5)”, x > -2/5

Dari ketiga syarat tersebut dan -2 $\leq$ x $\leq$ 10, dengan menggunakan garis bilangan, maka yang memenuhi untuk ke semuanya adalah : 0 < x $\leq$ 10

JAWABAN : C
Himpunan penyelesaian persamaan 2.9x – 3x+1 + 1 = 0 adalah …

A. {1/2, 1}

B. {-1/2, 1}

C. {-1/2, 1}

D. {0, 3log ½}

E. {1/2, 1/2log 3}

PEMBAHASAN :

2.9x – 3x+1 + 1 = 0

2.32x – 3.3x + 1 = 0

misal : y = 3x

2y2 – 3y + 1 = 0

(2y – 1)(y – 1) = 0

y = ½ atau y = 1